*用《几何画板》辅助数学教学课例一则*

一次培养创新能力的尝试

从一堂轨迹探求课的教学设计谈起

南京师大附中（210003） 陶维林

在全国教育工作会议上，江泽民主席指出：“教育是知识创新、传播和应用的主要基地，也是培养创新精神和创新人才的摇篮。”因此培养学生的创新能力就成为我们教师义不容辞的责任。本文介绍一次激发学生创新思维、培养学生创新能力所做的尝试，供同行参考。不当指出，敬请斧正。

1、引入问题。（1）每人发一张滤纸，要求：（ⅰ）在滤纸上取一点（不是圆心）；（ⅱ）折叠滤纸，使翻折后的弓形弧经过这一点（如图1）；（ⅲ）反复这样做，观察这些折痕围成一个什么图形。

学生经过折叠实践，一部分学生开始发现这些直线围成的图形是一个椭圆。由于还有一部分学生折叠次数太少尚不能发现这个事实，教师用《几何画板》软件演示：缓慢拖动图1中的点D（实际演示时标识点D的字母是隐藏掉的），屏幕上显示如图2的图形。全体学生结合自己的实践发现折痕是一个椭圆。

（2）请学生回答问题：折痕PQ满足的 图1 图2 图3

几何条件是什么？学生发现：C是定圆A内的一个定点，D是圆上的一个动点，折痕是联结C、D的线段的垂直平分线。

（3）提问：这条折痕上的哪个点在这个椭圆上，为什么？学生经过讨论。一个学生回答：是线段CD的中垂线与半径AD的交点。明确数学问题：如图3，点C是定圆A内的一个定点，D是圆上的动点，求线段CD的垂直平分线与半径AD的交点F的轨迹方程。

2、解答问题。建立点F的轨迹方程。取线段AC的中点为原点，直线AC为x轴建立直角坐标系。设|AC|=2c，|AD|=2a=R(已知圆的半径)。椭圆的方程为+=1（其中b²=a²-c²，a>b>0）。

3、改变问题。点E的轨迹是什么？让学生先猜测，再说明理由。有人猜椭圆，有人猜圆。说点E的轨迹是圆的学生给出两种方法，（1）由于|OE|=|AD|=a，是定值；（2）设点D（x₀,y₀），E（x,y），则有x₀=2x-c,y₀=2y。坐标（x₀,y₀）满足圆A的方程（x+c）²+y²=a²。

教师引导学生归纳、小结：探求点的轨迹，思维的出发点主要有两点。一是找出约束动点变动的几何条件（如解法（1））；一是找出影响动点变动的因素 点F之所以运动是由点D运动引起的（如解法（2））。

4、改变条件。变“E是CD的中点”为“G是直线CD上的一点”，求G的轨迹。受前题的启发，运用刚刚归纳出的经验，学生都猜想出点G的轨迹是圆，并给出了两种解法。（1）过G作AD的平行线，交直线AC于H，|HG|是一个定值；（2）设G（x,y），，则D（，），D的坐标满足圆A的方程（x+c）²+y²=a²。教师拖动点G，动态演示点G的轨迹始终是一个圆，位置不同，半径在变。

5、扩展问题，推向纵深。（1）猜想线段CF的中点K的轨迹，并求出方程。学生迁移解题经验，运用用“类比”的数学思想方法，猜想点K的轨迹仍然是一个椭圆，并给出解法：设F（x’,y’），K（x,y），而x’=2x-c,y’=2y。F的坐标（x’,y’）满足椭圆的方程+=1得到+=1。这是两个离心率相同的椭圆。

（2）在直线CF上任意上取一点L（不是C），猜想点L的轨迹，并求出方程。学生顺利给出点L(x，y)的方程，即把F（，）的坐标代入椭圆的方程+=1，其中。拖动点L，动态演示点L的轨迹始终是一个椭圆，大小不同，扁平程度并不变 离心率不变。

6、学生编题。（1）“为什么总是由老师提出问题，学生回答呢？这不‘公平’。下面我请同学们提问题，然后我们一起来研究。”教师的挑逗使原本热闹的课堂更加热闹起来。一个学生提出在直线CD上取一点M，过M作直线CD的垂线与直线AD交于点N，观察点N的轨迹（由于操作有误，点M没有取到直线CD上，实际上是在圆内任意取了一点M）。拖动点D，跟踪点N，动态的演示使点N的轨迹更加神奇。作出点N的轨迹（如图4）。十分美丽。同学们都异常兴奋，发出“啊，真好看！”“这是什么曲线？”的赞叹与疑惑。教师再表示“我也不知道”课堂就更加热闹了。有一个学生说，叫“金元曲线”（提问题的学生名字叫金元）。

（2）教师检讨，重新让学生编题。 图4 图5

“刚才点M的位置取错了，没有取到直线CD上，现在重新在直线CD上取一点T，过T作直线CD的垂线交直线AD于S，观察点S的轨迹。”同学们注意力都很集中，关注点S的轨迹，高兴极了。“是鸭蛋形（如图5）。”一个学生叫起来，急着给这个曲线命名。…后来还有一些同学跃跃一试，由于时间关系，未能继续。

7、“遗憾”的结尾。教师小结。“我们不仅要学会解决问题，积累解决问题的方法，更重要的是敢于提出问题，善于提出问题。”“我知道还有一些同学要提问题。这里确实还有许多问题值得探讨。如使∠DTS=45°，探求点S的轨迹；研究线段CW的中垂线与线段CD中垂线EF的交点轨迹；研究直线CW与线段CD的垂线的交点的轨迹。同学们可以课后研究，以后我们召开一次报告会。”

由于课堂教学时间有限，同学们带着“遗憾”下课了。

8、几点体会。

（1）计算机帮了大忙。没有计算机，没有《几何画板》这个软件，这堂课就不会这么设计，不会这么上，也产生不了这样的效果。动态的演示，增强了学生研究问题的兴趣，对所学知识加深了印象，提高了教学效果；软件的交互性使学生的猜想及时得到验证。教育部长陈至立指出：“要深刻认识现代教育技术在教育教学中的重要地位及其应用的必要性和紧迫性；充分认识应用现代教育技术是现代科学技术和社会发展对教育的要求，是教育改革和发展的需要。”吕福源副部长在多次讲话中也强调要把现代教育技术与各学科的整合作为深化教育改革的“突破口”。^[1]我们要努力掌握以计算机、网络技术为主要特征的现代教育技术，增强教育的信息化程度。积极采用先进的教学手段和教学方法，探索新的教学模式，大胆进行教育教学改革的实验，推进教育教学改革的深入开展。

（2）营造一个学生创新的氛围。要重视教学中学生的“参与度”，积极引导学生参与教学过程。这堂课一开始，学生就被引入状态 折滤纸。在问题的层层深入中，把课堂从一个高潮推向另一个高潮，充分调动了学生学习的积极性。引导学生参与课堂教学，教师要解放思想，胆子大一些，不要怕“乱”，课堂上“乱”一点不是坏事。要鼓励学生提出问题、大胆猜想，老师不要怕“挂黑板”，不要怕“丢面子”。当然这对教师的要求更高，要充分备课，练就驾御课堂的能力。要提倡“学生能做的事就让学生去做”，尊重学生的认知心理过程，尊重学生的意见，不去“扼杀”学生的见解，教师要用“赏识”的眼光看待学生。

（3）培养学生的创新能力不可能一蹴而就，要注意潜移默化。关键是教师要增强培养学生创新能力的意识。培养学生的创新能力不能赶时髦，追求每堂课都去“创新”。为“创新”而“创新”就不是创新。不能忽视“三基”教学，扎实的基础是创新的源泉。这堂课没有一味地追求“一题多变”，更不是哄哄闹闹。在注重培养能力的同时，重视思维的严谨，几乎对每一个“猜想”都给出了严格的证明。通过几个“点的轨迹的探求”，小结、归纳出探求点的轨迹的要点（找出约束动点变动的几何条件或找出引起动点变动的因素），并“类比”迁移运用于后面问题的解决中。教师规范板书，严格要求。

（4）一点遗憾。这堂课比较理想的上法应该是在网络教室进行的。这样可以让学生在教师的指导下，自己动手操作、观察、发现、研究问题。真正实现学生的主体地位、教师的的主导作用。计算机网络支持下的让学生动手“做数学”的实验模式，变传统教学模式下老师滔滔不绝的讲为教师负责学习的组织，指导学生研究问题，帮助学生学习，成了学生学习的帮助者，学生成为学习的主人。课堂上学生自始至终保持着浓厚的学习（研究）兴趣，不再把学习数学看成负担，增强了学好数学的信心，享受着学习数学的乐趣。学生直接动手操作，使实践能力、观察能力、归纳能力等都得到很好地锻炼，培养了思维能力和创新意识，促进了素质教育。

参考文献：

[1]何克抗.论现代教育技术与教育深化改革.网址http://www.nrcce.com/.